التوزيع الطبيعى فى المجال الرياضى
مقدمة:
الإحصاء: علم رياضيات، يكمل أربعة وظائف أساسية أو جوهرية:
1.- تجميع البيانات
2.- تنظيم البيانات
3.- تحليل البيانات
4.- تعميم النتائج على المجتمع الإحصائي (استقراء واتخاذ القرارات).
- الإحصاء الوصفي (DESCRIPTIVE STATISTICS) يختص بالثلاثة وظائف الأولى.
- بينما يتكفل الإحصاء الاستقرائي (STATISTICAL INFERENCE) بالوظيفة الرابعة.
والمجتمع الإحصائي (POPULATION or UNIVERSE) هو جميع المفردات موضوع الدراسة حسب خصائص معينة. مثلاً: المراهقين من كلا الجنسين والتي تتراوح أعمارهم بين 14-18 سنه ويسكنون في قطاع غزة.
بينما العينة (SAMPLE):هى مجموعة من مفردات المجتمع الإحصائي وتمثل تمثيلاً صادقاً كل مفردات المجتمع. مثلاً: المراهقين التي أعمارهم 15 سنة.
والقياس: هو عبارة عن عملية تحويل الأحداث الوصفية إلى أرقام بناء على قواعد وقوانين معينة لكي يسهل التعامل معها.
مستويات القياس:
الاستخدام المقياس
تصنيف
تصنيف + ترتيب
تصنيف + ترتيب + مسافة
تصنيف + ترتيب + مسافة + صفر مطلق 1.- التصنيف Nominal
2.- الترتيب Ordinal
3.- الفئات Interval
4.- النسبة Ratio
المتغيرات VARIABLES
تأخذ قيم متعددة
أنواع المتغيرات:
1.- المتغير النوعي QUALITATIVE VARIABLE
الذي يخبرنا فقط وبشكل وحيد عن كيفية (QUALITE) الشئ. فقط يمكن اعتباره تصنيفي ولذلك يقاس بمقياس التصنيف. من المتغيرات الكيفية: الجنس، المهنة، الحالة المدنية، لون الجلد، مكان الإقامة،......الخ .
2.- المتغير شبه الكمي VARIABLE CUASI-QUANTITATIVE
يقاس بمقياس الترتيب. العدد، في هذا النوع من المتغيرات، يخبرنا عن الحد الأكبر أو الحد الأصغر لكمية الشئ، لكن ليس الكمية بحد ذاتها، من هنا نسميه شبه كمي. من المتغيرات الكمية: درجة تفضيل الألوان، القدرة التربوية للمدرس للحكم على طلابه،.......الخ.
3.- المتغير الكمي VARIABLE QUANTITATIVE
نوعان:
A.- المتغير المتقطع أو المنفصل DISCRETE VARIABLE
– هو المتغير الذي لا يمكن أن يأخذ أي قيمة بين قيمتين (لا يسمح بالكسور)، فقط يستخدم هذا المتغير قيم (أرقام) صحيحة. قابل للعد.
– على سبيل المثال: عدد الأبناء في الأسرة، عدد السيارات التي تصنعها الشركة، المواد التي تنجحها في الفصل الدراسي.
B.- المتغير المتصل CONTINUOUS VARIABLE
- هو المتغير الذي يمكن أن يأخذ أي قيمة بين قيمتين (يسمح بالكسور).
– يسمح باستخدام قيم (أرقام) صحيحة وكسور.
– غير قابل للعد.
– على سبيل المثال: العمر، الوزن، الطول، الارتفاع،......الخ.
التوزيع الاعتدالي أو المنحنى الطبيعي أو توزيع جاوس
NORMAL DISTRIBUTION or NORMAL CURVE or GAUSSIAN DISTRIBUTION
هو أهم التوزيعات الاحتمالية المتصلة على الاطلاق ومعظم المتغيرات العشوائية متصلة تتبع بشكل أو بآخر هذا التوزيع خاصة عند وجود عدد مفردات كبير ( اكبر من 30 مفردة ) حتى ان بعض توزيعات المتغيرات العشوائية المتقطعة يمكن ان نستخدم التوزيع الطبيعى بدلا منها بشروط معينة لكل توزيع.
تعريف: هو منحنى يشبه الجرس، وهو من المنحنيات المتصلة التي تعتبر من أهم المنحنيات المستخدمة في البحوث النفسية والتربوية.
خواص المنحنى الاعتدالي المعياري:
1.- منحنى متماثل.
2.- منحنى متصل.
3.- يمتد من كلتا الجهتين إلى ما لانهاية دون ان يمس المحور الأفقي.
4.- المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي الواحد الصحيح.
5.- في نقطة التقاطع بين المحور الأفقي والمحور الرأسي، نجد أن قيمة الوسط الحسابي والوسيط والمنوال هي نفسها.
X = Mdn = Mo
التوزيع الطبيعى القياسى :
قد يتساوى متوسط التوزيع الطبيعى للمتغير العشوائى مع اختلاف تباينه فيكون بهذا الشكل
وقد يتساوى تباين التوزيع الطبيعى للمتغير العشوائى مع اختلاف متوسطه فيكون بهذا الشكل
لذلك نحتاج إلى توزيع قياسى يصلح فى جميع حالات المتغير العشوائى بتباين ثابت ومتوسط ثابت يسمى التوزيع الطبيعى القياسى متوسطه صفر وتباينه الواحد الصحيح وشكله العام ويكون 68% من مفردات المتغير بين 1، -1 كمان ان 95% منها بين 1.96 ، -1.96 واخيرا فان 99% منها بين 2.576 ، -2.576 كما ان التوزيع التكرارى الاحتمالى للتوزيع الطبيعى القياسى حتى متوسطه ( الصفر ) يحتوى على نصف عدد مفردات المتغير العشوائى وبمعنى اخر فان المساحة على يسار النقطة صفر ( متوسط التوزيع الطبيعى القياسى ) = 50% من اجمالى المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى أو ان مجموع الاحتمالات لقيم المتغير العشوائى فى التوزيع الطبيعى القياسى حتى الصفر = 0.5
عند كل قيمة لـ x توجد قيمة جدولية لها ( فاى ) ويوضح الرسم البيانى التالى المساحات اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى
طرق التأكد من التوزيع الطبيعي
للتأكد من أن البيانات تتوزع حسب التوزيع الطبيعى توجد عدة طرق منها:
1- طرق تعتمد على الرسم البيانى
2- طرق تعتمد على حساب مقياس احصائى للبيانات
3- طرق تعتمد على اجراء اختبار احصائى
ويمكن استخدام احد تلك الطرق للتأكد من أن البيانات لها التوزيع الطبيعى وسنتعرض للطرق السابقة على حده.
اولا الاعتماد على الأشكال البيانية:
حيث ان منحنى التوزيع الطبيعى متماثل حول الوسط الحسابى لذا ستعتمد فكرة الأشكال البيانية على مفهوم التماثل عن طريق اسقاط عمود من قمة المنحنى وبحث الجزئين المقسم لهما الشكل هل متساويان ( متماثل حول العمود) فتكون للبيانات التوزيع الطبيعى أم غير متساوى فتكون البيانات ليس لها التوزيع الطبيعى.
وسوف نستخدم الأشكال التالية
1. المدرج التكرارىHistogram
2. رسمة الساق والاوراقStem and Leaf Plot
3. رسمة الصندوقBox Plot : تكون البيانات متماثله اذا كان البعد بين الربيع الأدنى والوسيط يساوى البعد بين الربيع الأعلى والوسيط
4. رسمة الاحتمال الطبيعىNormal Probability Plot : نقوم برسم البيانات المشاهده والقيم المتوقعه المناظرةز اذا كانت البيانات لها التوزيع الطبيعى ستقع النقاط فى الشكل على شكل خط مستقيم
5. رسمة الاتجاه للمنحنى الطبيعىDe-trended Normal Plot : ونحصل عليها برسم الانحراف الحقيقى للنقاط على الخط المستقيم فاذا كانت النقاط على الشكل المرسوم ليس لها نمط حول الخط المرسوم حول الصفر فان هذا يعنى انها تتوزع حسب التوزيع الطبيعى.
ثانيا الاعتماد على مقياس احصائى:
بحساب معامل الالتواء فاذا كان مسويا الصفر كانت البيانات متماثله واذا كان معامل التفرطح مساويا الصفر أو 3 كانت البيانات معتدله التفرطح وبالتالى فان البيانات تتوزع حسب التوزيع الطبيعى.
ثالثا استخدام اختبار احصائى
يوجد ايضا العديد من الاختبارات الاحصائية التى تختبر هل البيانات تتوزع حسب التوزيع الطبيعى ام لا؟ ومنها
1- اختبار كولومجروف سيمنروف
2- اختبار شابيرو
3- ليليفورز للاعتدالية
4- كا 2
