(1) إختبار كا2 لاستقلال خاصيتين
متى يستخدم هذا الإختبار
يستخدم هذا الاختبار لمعرفة هل توجد علاقة بين أى خاصيتين من خواص المجتمع أم لا , وبمعنى آخر هل إحدى الخاصيتين تكون متأثرة بخاصية أخرى أم لا تكون متأثرة بها .
وفى حالة إذا كانت إحدى الخاصيتين لا تكون متأثرة بالخاصية الأخرى , فإن هاتين الخاصيتين تسمى " خاصيتين مستقلتين " .
فمثلاً :
• هل الإصابة بمرض السرطان يكون متأثراً بالتدخين أم لا .
• هل النجاح فى الامتحان يكون متأثراً بالإستيعاب الجيد للمقرر أم لا .
• هل إنتاج الوحدات السليمة يكون متأثراً بجودة الآلة أو لا .
ولمعرفة هل الخاصيتين مستقلتين أم لا , يتم سحب عينة عشوائية من المجتمع محل الدراسة ثم يتم تقسيم هذه العينة ولمعرفة هل الخاصيتين مستقلتين أم لا , يتم سحب عينة عشوائية من المجتمع محل الدراسة ثم يتم تقسيم هذه العينة إلى أربعة قيم حسب الخاصيتين ويتم وضع هذه القيم الأربعة فى جدول يسمى جدول الإقتران contingency table كالأتى :
الخاصية الثانية
الخاصية الأولى ك 11 ك21
ك12 ك22
وتسمى القيم الأربعة ك 11, ك 21, ك 12, ك 22 " بالتكرارات المشاهدة "
خطوات الإختبار
1- الفرض الأصلى : الخاصيتان مستقلتان .
2- الفرض البديل : الخاصيتان غير مستقلتان .
3- مستوى المعنوية : α = 5% .
4- المقياس الإحصائى : إختبار كا2 لاستقلال خاصيتين .
5- العمليات الحسابية : وتتلخص فى الخطوات الأتية :
(أ) يتم إضافة خانة لمجموع الصفوف وخانة أخرى لمجموع الأعمدة للجدول السابق كالأتى :
الخاصية الثانية مجموع
الخاصية الأولى ك 11 ك21 ×
ك12 ك22 ×
مجموع × × ××
مجموع التكرارات المشاهدة ( مجـ ك )
(ب) يتم إيجاد التكرارات المتوقعة ك 11, ك 21, ك 12, ك 22 كالآتى :
(ج) يتم إيجاد قيمة كا2 المحسوبة كالأتى :
6- يتم مقارنة قيمة كا 2 المحسوبة بقيمة كا2 الجدولية عند مستوى معنوية α =5% وبدرجات حرية ( عدد الصفوف -1 ) × (عدد الأعمدة -1) أى بدرجات حرية (1) والموجودة فى جدول كا2 فى ملحق الجداول آخر الكتاب
إذا كانت إذا كانت
كا 2 المحسوبة ≤ كا2 الجدولية
نقبل الفرض الأصلى القائل القائل بأن الخاصيتين مستقلتين , وهذا يعنى أن إحدى الخاصيتين لا تكون متأثرة بالخاصية الأخرى . كا2 المحسوبة > كا2 الجدولية
نقبل الفرض البديل القائل بأن الخاصيتين غير مستقلتين , وهذا يعنى أن إحدى الخاصيتين تكون متأثرة بالخاصية الأخرى .
تمرين :
لمعرفة ما إذا كان هناك علاقة بين التدخين والاصابة بمرض السرطان تم إختيار عينة عشوائية من 50 مريض وقسمت تكراراتهم فى الجدول الآتى :
إصابة عدم إصابة
مدخن 23 3
غير مدخن 2 22
هل ترى أن الإصابة بمرض السرطان يكون متأثراً بالتدخين أم لا بمستوى معنوية α = 5 % ؟
الحــــل
خطوات الإختبار
1- الفرض الأصلى : الخاصيتان مستقلتان
2- الفرض البديل : الخاصيتان غير مستقلتان
3- مستوى المعنوية : α = 5 %
4- المقياس الإحصائى :إختبار كا2 لاستقلال ختاصيتين
5- العمليات الحسابية : وتتلخص فى الخطوات الأتية :
(أ) يتم إضافة خانة لمجموع الصفوف وخانة أخرى لمجموع الأعمدة للجدول المعطى فى التمرين كالآتى :
مجموع
23
3 26
2
22 24
مجموع 25 25 50
مجموع التكرارات المشاهدة ( مجــ ك )
(ب) يتم إيجاد التكرارات المتوقعة كالآتى :
(ج) يتم إيجاد قيمة كا2 المحسوبة كالآتى :
ويمكن توضيح كيفية تطبيق هذا القانون من خلال الجدول الآتى :
ك
ك
(ك - ك)
(ك – ك)2
23 13 10 100
3 13 -10 100
2 12 -10 100
22 12 10 100
50 50 صفر 32.04
مجـ ك مجـ ك مجـ (ك – ك) كا2 المحسوبة
6- يتم مقارنة قيمة كا2 المحسوبة بقيمة كا2 الجدولية عند مستوى معنوية α = 5% وبدرجات حرية (1) فنجد أن :
كا 2 المحسوبة كا2 الجدولية بدرجات حرية (1)
32.04 3.84
نقبل الفرض البديل القائل بأن الخاصيتين غير مستقلين , وهذا يعنى أن الإصابة بمرض السرطان يكون متأثراً بالتدخين .
(2) إختبار كا2 لجودة التوفيق
متى يستخدم هذا الإختبار
يعتبر هذا الإختبار أحد إختبارات جودة التوفيق بهدف معرفة هل العينة المسحوبة من مجتمع معين تكون مثلة أو مشابهة لهذا المجتمع أم لا ؟ بمعنى أخر هل العينة تكون مطابقة للواقع أم لا ؟
شروط تطبيق هذا الإختبار
1- أن يكون حجم العينة أومجموع التكرارات المشاهدة ( مجـ ك) ≥ 30
2- أن تكون كل قيمة من قيم التكرارات المتوقعة (ك) ≥ 5
خطوات الإختبار
1- الفرض الأصلى : العينة ممثلة للمجتمع .
2- الفرض البديل : العينة غير ممثلة للمجتمع .
3- مستوى المعنوية : α = 5 % .
4- المقياس الإحصائى : إختبار كا2 لجودة التوفيق .
5- العمليات الحسابية :
يتم إيجاد قيمة كا2 المحسوبة كالأتى :
ك : التكرار المشاهد
ك : التكرار المتوقع =
6- يتم مقارنة قيمة كا 2 المحسوبة بقيمة كا2 الجدولية عند مستوى معنوية α =5% وبدرجات حرية ( عدد القيم -1 ) والموجودة فى جدول كا2 فى ملحق الجداول آخر الكتاب :
إذا كانت إذا كانت
كا 2 المحسوبة ≤ كا2 الجدولية
نقبل الفرض الأصلى القائل القائل بأن العينة تكون ممثلة للمجتمع . كا2 المحسوبة > كا2 الجدولية
نقبل الفرض البديل القائل بأن العينة تكون غير ممثلة للمجتمع .
تمرين :
سحبت عينة عشوائية من 33 عميل من مدينة القاهرة لمعرفة تفضيلاتهم بالنسبة للأنواع المختلفة من السيارات فتم الحصول على النتائج الأتية :
نوع السيارة هيونداى دايو تويوتا مازدا أوبل مرسيدس
عدد العملاء 8 7 3 5 6 4
هل هذه العينة تعكس تفضيلات العملاء فى المجتمع بالنسبة للأنواع المختلفة للسيارات أم لا ؟ أو بمعنى آخر هل هذه العينة تكون ممثلة أو مشابهة للمجتمع أم لا بمستوى معنوية α = 5 % ؟
الحـــل
من بيانات التمرين السابق نجد توافر شروط تطبيق إختبار كا2 لجودة التوفيق وهى :
1- أن يكون حجم العينة أو مجموع التكرارات المشاهدة ( مجـ ك ) ≥ 30 حيث نجد أن : حجم العينمة ( مجـ ك ) = 33 .
2- أن تكون كل قيمة من قيم التكرارات المتوقعة ( ك ) ≥ 5 حيث نجد أن :
خطوات الإختبار :
1- الفرض الأصلى : العينة ممثلة للمجتمع .
2- الفرض البديل : العينة غير ممثلة للمجتمع .
3- مستوى المعنوية : α = 5 % .
4- المقياس الإحصائى : إختبار كا2 لجودة التوفيق .
5- العمليات الحسابية :
يتم إيجاد قيمة كا2 المحسوبة كالأتى :
ويمكن توضيح كيفية تطبيق هذا القانون من خلال الجدول الآتى :
نوع السيارة التكرارات المشاهدة
( ك ) التكرارات المتوقعة
( ك )
(ك - ك)
(ك – ك)2
هيونداى 8 5.5 2.5 6.25
دايو 7 5.5 1.5 2.25
تويوتا 3 5.5 -2.5 6.25
مازدا 5 5.5 -0.5 0.25
أوبل 6 5.5 0.5 0.25
مرسيدس 4 5.5 -1.5 2.25
مجموع 33 33 صفر 3.2
مجـ ك مجـ ك مجـ (ك – ك) كا2 المحسوبة
من الجدول السابق :
• يلزم أن يكون مجــ ك = مجــ ك
• يلزم أن يكون مجـ ( ك – ك ) = صفر
6- يتم مقارنة قيمة كا2 المحسوبة بقيمة كا2 الجدولية عند مستوى معنوية α = 5% وبدرجات حرية ( عدد القيم -1 ) أى بدرجات حرية ( 6-1 ) = (5) فنجد أن :
كا 2 المحسوبة كا2 الجدولية بدرجات حرية (5)
3.2 11.07
كا 2 المحسوبة أقل من كا2 الجدولية
نقبل الفرض الأصلى القائل بأن العينة تكون ممثلة أو مشابهة للمجتمع , وهذا يعنى أن هذه العينة تعكس تفضيلات العملاء فى المجتمع بالنسبة للأنواع المختلفة للسيارات .
