الالتواء والتفلطح
مقدمة
لا تتبع بعض توزيعات البيانات الشكل المتماثل ، فقد تضم البيانات قيماً متطرفة فتعمل على امتداد التوزيع من أحد طرفيه وهذا يؤدي إلى التواء المنحنى ، وقد تضم البيانات قيماً كثيرة في المنتصف بحيث تظهر قمة منحنى التوزيع مدببة ومرتفعة . وقد يتركز عدد كبير من القيم في المنتصف بحيث يكون التوزيع عريض أو ذو قمة مفلطحة . ( 6 : 121 )
على الرغم من أن التوزيع التكراري يمكن أن يتخذ أي شكل ، إلا أنه توجد بعض الأشكال النموذجية التي تناسب معظم التوزيعات التي يقابلها الباحث في المواقف الفعلية ، ومن بين هذه التوزيعات : التوزيع الاعتدالي وهو توزيع يشبه الجرس المقلوب ، والتوزيع الملتوي التواءً موجباً والذي تتراكم فيه قيم المتغير حول النهاية الدنيا للتوزيع ، والتوزيع الملتوي التواءً سالباً حيث تتراكم فيه قيم المتغير حول النهاية العليا للتوزيع .
فإذا لم يكن التوزيع اعتدالياً فانه يجب أن لا يكتفي الباحث عند وصف التوزيع بالمتوسط والانحراف المعياري . وإنما يحتاج إلى مقياس آخر يعبر عن مدى ابتعاد التوزيع عن الاعتدالية ، أي درجة التوائه . ومن المرغوب فيه أيضاً أن يصف التوزيع بمقياس آخر يعبر عن درجة تفلطح أو تدبب التوزيع . ( 2 : 180 )
الالتواء Skewness
في حالة عدم تطابق مقاييس النزعة المركزية المنوال والوسيط والوسط الحسابي يعد التوزيع ملتوياً . ( 5 : 83 )
في حالة التوزيعات المتماثلة يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال ، وكلما بعد المنحنى عن التماثل بعدت هذه القيم بعضها عن البعض ، ولذلك يمكن استخدام الفرق بين هذه القيم كمقياس للالتواء إلا أن هذا الفرق لا يقيس الالتواء تماماً ، فقد يكون الفرق كبير والالتواء صغيراً ، لأن تشتت قيم البيانات كبيراً ، وقد يكون الفرق صغيراً والالتواء كبيراً لأن تشتت المجموعة صغيراً ، ولذلك يجب أن ينسب هذا الفرق إلى مقياس التشتت المناظر ( من نفس نوع مقياس القيمة المتوسطة المستخدم ) ويسمى المقياس الناتج بمعامل الالتواء . وبصفة عامة يجب أن يحقق معامل الالتواء الشرطين التاليين :
1- أن يساوي صفراً للمنحنيات المتماثلة .
2- أن يكون عدداً بحتاً فلا يتوقف على الوحدات التي يقاس بها المتغير .
والالتواء هو درجة عدم التماثل أو الانحراف عن التماثل فإذا كان منحنى التوزيع له طرف على يمين مركز التوزيع أطول من الطرف الأيسر ، فان التوزيع يسمى ملتوي لليمين أو أن له التواء موجب ، وإذا حدث العكس يقال أن التوزيع ملتوي لليسار أو أنه سالب الالتواء .
( 6 : 121-122 )
أشكال الالتواء :
يعتمد قياس التواءات التوزيعات الإحصائية على معرفة مقاييس النزعة المركزية وهي المتوسط الحسابي ، الوسيط ، الربيع الأول ، الربيع الثاني والمنوال.
والمنحنى المتماثل الذي لا يوجد فيه أي التواء تنطبق عليه المقاييس الثلاثة أي أن المتوسط الحسابي = الوسيط = المنوال ، أي الفرق بينهم يساوي صفراً . وإذا كان الفرق يختلف عن الصفر كان هذا دليلاً على وجود الالتواء .
وحيث أن المنوال هو أكبر القيم تكراراً فهو يقع تحت قمة المنحنى مباشرة فإذا التوى المنحنى جهة اليمين انتقلت قمته جهة اليمين وانتقلت معه قيمة المنوال إلى اليمين ، وكذلك الحال إذا التوى جهة اليسار .
المتوسط
الوسيط
المنوال
شكل ( 1 )
منحنى متماثل
يمثل التوزيع الاعتدالي
المنحنى الموجب الالتواء : Positively Skewed
يكون التوزيع غير متماثل بحيث تتراكم معظم التكرارات حول الطرف السفلي للتوزيع وتقل التكرارات كلما اتجهنا نحو الطرف العلوي ، ويكون الطرف الأيمن للمنحنى ممتد وله ذيل متجه نحو اليمين ، وفي هذه الحالة يكون الوسط الحسابي أكبر من الوسيط ، والوسيط يسبق المتوسط .
وقد يرجع حدوث الالتواء الموجب إلى سهولة الاختبار مما أدى إلى حصول الجميع على درجات عالية ، أو نتيجة لاختيار عينة متميزة .
الوسيط المنوال
المتوسط
شكل ( 2 )
منحنى موجب الالتواء
المنحنى السالب الالتواء : Negatively Skewed
يكون التوزيع غير متماثل بحيث تتراكم معظم التكرارات حول الطرف العلوي للتوزيع وتقل التكرارات كلما اتجهنا نحو الطرف السفلي ، ويكون الطرف الأيسر للمنحنى ممتد وله ذيل متجه نحو اليسار ، وفي هذه الحالة يكون الوسط الحسابي أقل من الوسيط ، والمتوسط يسبق الوسيط .
وقد يرجع حدوث الالتواء السالب إلى صعوبة الاختبار مما أدى إلى حصول الجميع على درجات منخفضة ، أو نتيجة لاختيار عينة منخفضة المستوى .
الوسيط
المتوسط
المنوال
شكل ( 3 )
منحنى سالب الالتواء
قياس الالتواء :
قياس الالتواء بطريقة بيرسون :
سبق الإشارة إلى تساوي قيم المتوسط والوسيط والمنوال في حالة التوزيع المتماثل ، وقد تختلف قيمها عن بعض في حالة التوزيع غير المتماثل ، بحيث يكون الوسيط في الوسط دائماً بينما يكون المتوسط في جهة القيم المتطرفة ( ذيل المنحنى الممتد ) حيث أنه يتأثر بها ، ويكون المنوال في الجهة الأخرى التي يتركز بها معظم قيم التوزيع ، ولذلك يمكن قياس الالتواء مبدئياً بالصيغة التالية .
الالتواء = المتوسط - المنوال .
ولكن يعيب المقياس السابق للالتواء أنه ليس مقياس يعطي عدد مطلق حيث يأخذ نفس وحدة قياس المتغير ، كما أنه لا يأخذ في الاعتبار تشتت التوزيعات المختلفة ، فقد تكون قيمة الالتواء واحد لتوزيعين مختلفي التشتت مما يعطي الالتواء معنى مختلف في الحالتين ، وللتغلب على تلك العيوب يستخرج مقياس نسبي للالتواء وذلك بقسمة ( المتوسط - المنوال ) على الانحراف المعياري للتوزيع .
الوسط الحسابي - المنوال
معامل الالتواء =
الانحراف المعياري
ويعطي هذا المقياس النسبي الذي قدمه " كارل بيرسون K. Person " إشارة سالبة للالتواء جهة اليسار ، وإشارة موجبة للالتواء جهة اليمين ، ولكن يعيبه استخدام المنوال الذي يصعب تقديره بدقة كبيرة من التوزيعات التكرارية .
وقد وجد " كارل بيرسون K. Person " أن الوسيط في التوزيعات التكرارية متوسطة الالتواء للمتغيرات المتصلة يقع عند ثلثي المسافة بين المنوال والمتوسط ولذلك استنتج الصيغة التالية لحساب الالتواء :
3 ( المتوسط - الوسيط ) 3 ( سَ - و )
معامل الالتواء = =
الانحراف المعياري ع
(6 : 122-123 )
ويمتد الالتواء من -3 في الالتواء السالب الى +3 في الالتواء الموجب ويتلاشى الالتواء عندما يصبح الفرق بين الوسيط والوسط الحسابي صفراً وذلك عندما يكون التوزيع اعتدالياً .
مثال1 :
اذا كان متوسط توزيع ما = 86,90 ، والوسيط = 49,90 ، والانحراف المعياري = 04,14 ، احسب الالتواء .
3 ( 86,90 - 49,90 )
الالتواء = = 079,0
04,14
ونظراً لأن هذه القيمة قريبة جداً من الصفر ، فهذا يدل على أن التوزيع متماثل تقريباً أي أقرب مايكون للتوزيع الاعتدالي والتوزيع موجب الالتواء .( 5 : 83 )
مثال2 :
اذا كان متوسط توزيع ما = 55,50 ، والوسيط = 02,51 ، والانحراف المعياري = 04,14 ، احسب الالتواء .
3 ( 55,50 - 02,51 )
الالتواء = = - 057,0
14,8
ونظراً لأن هذه القيمة قريبة جداً من الصفر ، فهذا يدل على أن التوزيع متماثل تقريباً أي أقرب مايكون للتوزيع الاعتدالي والتوزيع سالب الالتواء .
هناك مقاييس أخرى للالتواء منها :
معامل الالتواء الربيعي : ( Quartile Coefficient Of Skewness )
في حالة التوزيعات المفتوحة ، يتم حساب الربيعيين الأول والثالث ، ثم حساب الالتواء باستخدلم الصيغة التالية التي قدمها بولي Bowley
( الربيعي الثالث - الربيعي الثاني ) - ( الربيعي الثاني - الربيعي الأول )
معامل الالتواء =
( الربيعي الثالث - الربيعي الأول )
وقد بني معامل الالتواء باستخدلم الربيعيات على أساس أنه في التوزيعات المتماثلة يقع الربيعيان على بعدين متساويين من الوسيط . وفي التوزيعات الملتوية يختلف بعدا هذين الربيعيين عن الوسيط ، وبذلك يكون الفرد بين بعديهما مقياساً للالتواء ، والمقام هو المدى الربيعي . وهذا المعامل ينحصر بين ( -1 ) ، ( +1 ) ، ونلاحظ أن هذا المقياس لا يأخذ في الاعتبار القيم الواقعة قبل الربيعي الأول وبعد الربيعي الثالث . ( 6 : 123 )
معامل الالتواء المئيني : ( Percentile Coefficient Of Skewness )
ويستعمل المئينات في تعريفه وهو
( المئيني90 - المئيني50 ) - ( المئيني50 -المئيني10 )
معامل الالتواء =
( المئيني90 - المئيني10 )
( 3 : 48 )
قياس الالتواء باستخدام العزوم :
العزوم حول المتوسط الحسابي :
في الحقيقة يمكن وصف التواء التوزيع بدرجة تقريبية بطرق مختلفة كما ذكرنا سابقاً.
أما اذا أردنا الحصول على مقاييس دقيقة وثابتة لوصف الالتواء والتفلطح فانه يفضل استخدام طريقة تعتمد على العزوم حول المتوسط الحسابي .
فالمتوسط الحسابي والانحراف المعياري يرتبطان بعائلة من المقاييس الاحصائية تسمى العزوم Moments ، والعزوم الأربعة الأولى حول المتوسط هي:
( في حالة الدرجات الخام )
مج ( س - سَ )
م1 = = صفر
ن
مج ( س - سَ )2 ن - 1
م2 = = ع2
ن ع
مج ( س - سَ )3
م3 =
ن
مج ( س - سَ )4
م4 =
ن
ويرتبط مفهوم العزوم بعلم الميكانيكا . فاذا افترضنا أن لدينا رافعة مرتكزة على محور ، وأن هناك قوة ( ق1 ) تؤثر على ذراع الرافعة على مسافة ( س1 ) من المحور ، فان حاصل ضرب ( ق1×س1 ) تسمى عزم القوة حول المحور . واذا أثرت قوة أخرى ( ق2 ) على مسافة ( س2 ) من المحور . فان العزم الكلي يساوي( ق1×س1 + ق2×س2 ) واذا ربعنا المسافة (س) نحصل على العزم الثاني ، واذا رفعناها الى القوة الثالثة نحصل على العزم الثالث ، وهكذا .
وفي حالة التوزيعات التكرارية ، يمكن اعتبار نقطة الأصل تشبه محور ارتكاز الرافعة ، وتكرارات الفئات المختلفة تشبه القوى المؤثرة على مسافات مختلفة من نقطة الأصل .( 2 : 181-182 )
ويكون العزم للتوزيع التكراري ذي الفئات حول وسطه الحسابي هو :
مج ( س - سَ ) ك
م = حيث ك تمثل التكرارات
ن
( 3 : 48 )
معامل الالتواء باستخدام العزوم :
للحصول على معامل الالتواء باستخدام العزوم نستخدم العزم الثالث ، حيث أن معامل الالتواء يساوي النسبة بين العزم الثالث ومكعب الانحراف المعياري، أي :
العزم الثالث العزم الثالث
معامل الالتواء = =
مكعب الانحراف المعياري ( العزم الثاني )3
( 6 : 123 )
وهذا المقياس مبني على فكرة أنه عندما يكون التوزيع ، أو توزيع أي مجموعة من القيم متماثلا ً ، فان مجموع الانحرافات الموجبة عن المتوسط مرفوعة للقوة الثالثة ( أي بعد تكعيبها ) سوف تتوازن مجموع الانحرافات السالبة عن المتوسط مرفوع للقوة الثالثة .
ولذلك فانه اذا كان التوزيع متماثلاً يكون العزم الثالث أي م3 = صفر وينتج أن معامل الالتواء أو ل = صفر ، أما اذا كان التوزيع غير متماثل فان الانحرافات الموجبة مرفوعة للقوة الثالثة لا تتوازن مع الانحرافات السالبة مرفوعة للقوة الثالثة ، وحينئذ م3 لا تساوي صفر ، وبالتالي ل لا تساوي صفر .( 2 : 183 )
مثال3 :
احسب معامل الالتواء باستخدام العزمين الثالث والثاني للتوزيع التكراري في الجدول التالي :
المركز 2 3 4 5 6 7 8 9 10
التكرار 3 3 5 5 6 8 4 4 2
الحل :
نحسب جميع المقادير المطلوبة كما بالجدول التالي :
س ك ك س (س-سَ) (س-سَ)2 (س-سَ)2 × ك (س-سَ)3 (س-سَ)3
× ك
2 3 6 -4 16 48 -64 -192
3 3 9 -3 9 27 -9 -81
4 5 20 -2 4 20 -8 -40
5 5 25 -1 1 5 -1 -5
6 6 36 0 0 0 0 0
7 8 56 1 1 8 1 8
8 4 32 2 4 16 8 32
9 4 36 3 9 36 27 108
10 2 20 4 16 32 64 128
مج 40 240 192 42
مج ك س 240
سَ = = = 6
مج ك 40
العزم الثالث حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )3 × ك 42
م3 = = = 05,1
ن 40
العزم الثاني على حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )2 × ك 192
م2 = = = 8,4
ن 40
مكعب الانحراف المعياري
ع3 = ( العزم الثاني )3 = ( 8,4 )3 = 516,10
العزم الثالث م3
معامل الالتواء ل = =
مكعب الانحراف المعياري (ع)3
05,1
ل = = 10,0 ( 6 : 124 )
516,10
مثال4 :
احسب معامل الالتواء باستخدام العزمين الثالث والثاني للتوزيع التكراري في الجدول التالي :
المركز 5 8 11 14 17 20
التكرار 5 6 6 4 3 2
الحل :
نحسب جميع المقادير المطلوبة كما بالجدول التالي :
س ك ك س (س-سَ) (س-سَ)2 (س-سَ)2 × ك (س-سَ)3 (س-سَ)3
× ك
5 5 25 -6 36 180 -216 -1080
8 6 48 -3 9 54 -27 -162
11 6 66 0 0 0 0 0
14 4 56 3 9 36 27 108
17 3 51 6 36 108 216 648
20 2 40 9 81 162 729 1458
مج 26 286 540 972
مج ك س 286
سَ = = = 11
مج ك 26
العزم الثالث حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )3 × ك 972
م3 = = = 38,37
ن 26
العزم الثاني على حول المتوسط الحسلبي
مج ( س - سَ )2 × ك 540
م2 = = = 77,20
ن 26
مكعب الانحراف المعياري
ع3 = ( العزم الثاني )3 = ( 77,20)3 = 66,94
العزم الثالث م3
معامل الالتواء ل = =
مكعب الانحراف المعياري (ع)3
38,37
ل = = 395,0
66,94
ويتضح منه أن التوزيع قليل الالتواء ناحية اليمين وهو التواء موجب . ( 3 : 50 )
نموذج لحساب الالتواء باستخدام الوسيط والربيعين :
مقياس الالتواء = ( الربيع الثالث - الوسيط ) - (الوسيط - الربيع الأول )
ن + 1 41
الربيع الأول = = = 25,10
4 4
قيمة الربيع الأول = 63 + ( 25,0 × صفر ) = 63
3 ( ن + 1 ) 3 × 41
الربيع الثالث = = = 75,30
4 4
قيمة الربيع الثالث = 66 + ( 75,0 × صفر ) =66
مقياس الالتواء = ( 66 - 5,64 ) - (5,64 - 63 ) = 5,1 - 5,1 = صفر
ويتضح منه أن التوزيع متماثل .
العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية واتجاه التواء التوزيع :
إذا تطابقت مقاييس النزعة المركزية الثلاثة فان التوزيع يكون متماثل ، أما إذا كان المتوسط أقل من الوسيط أقل من المنوال فان التوزيع يكون ملتوياً إلى اليسار أو سالب الالتواء ، وإذا كان المتوسط أكبر من الوسيط أكبر من المنوال ، فان التوزيع يكون ملتوياً إلى اليمين أو موجب الالتواء .
ويمكننا تحديد الالتواء أو التماثل باستخدام العلاقة بين الربيعيات ، كما يلي :
توزيع سالب الالتواء
( الربيعي الأول - الربيعي الثاني ) >( الربيعي الثاني - الربيعي الثالث )
توزيع موجب الالتواء
( الربيعي الأول - الربيعي الثاني ) <( الربيعي الثاني - الربيعي الثالث )
توزيع متماثل
( الربيعي الأول - الربيعي الثاني ) = ( الربيعي الثاني - الربيعي الثالث )
كما يمكننا تحديد الالتواء أو التماثل باستخدام العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة ، كما يلي :
توزيع سالب الالتواء
( المنوال - الوسيط ) < ( الوسيط - المتوسط الحسابي )
توزيع موجب الالتواء
( المنوال - الوسيط ) > ( الوسيط - المتوسط الحسابي )
توزيع متماثل
( المنوال - الوسيط ) = ( الوسيط - المتوسط الحسابي )
التفلطح Kurtosis
التفلطح هو قياس درجة علو قمة التوزيع بالنسبة للتوزيع الطبيعي عادة . ( 6 : 125 )
وهو يقيس درجة ارتفاع التوزيع والذي عادة ما ينسب إلى التوزيع الاعتدالي ، فإذا كان للتوزيع قمة مرتفعة ( أكبر من التوزيع الاعتدالي ) يقال أنه مدبب Leptokurtic . وإذا كان التوزيع ذو قمة مسطحة يقال أنه مفلطح Platykurtic ، وإذا كانت قمة التوزيع متوسطة ( ليست مدببة وليست مفلطحة ) يسمى متوسط التفلطح Mesokurtic .
حيث أن ارتفاع قمة التوزيع الاعتدالي تساوي 3 تقريباً ، فان التوزيع يكون مفلطحاً عندما يكون معامل التفلطح أقل من 3 ، ويكون التوزيع مدبباً عندما يكون معامل التفلطح أكبر من 3. ( 6 : 125 )
وصفة التفلطح ليس لها علاقة بالمتوسط الحسابي للتوزيع فقد يكون هناك أكثر من توزيع لهم نفس المتوسط الحسابي ولكن يختلف شكل المنحنى من مدبب أو مسطح .( 5 :86 )
أشكال التفلطح :
تفلطح التوزيع يشير إلى الاستواء أو التدبب في التوزيع بالنسبة لغيره من التوزيعات . فخاصية التفلطح تعد خاصية نسبية . فإذا نظرنا إلى المنحنيين التكراريين الموضحين بالشكل التالي نجد أنهما يختلفان في التفلطح فالمنحنى (أ) مدبب بدرجة أكبر من المنحنى (ب) ، ويتغير ارتفاع المنحنى (أ) بدرجة أكبر من المنحنى (ب)كلما زادت القيمة على المحور السيني .
ولذلك فانه يقال أن المنحنى (أ) أكثر تدبباً Leptokurtic من المنحنى (ب) ، أو يمكن أن نقول أن المنحنى (ب) أكثر استواءاً Platykurtic من المنحنى (أ) . (2 : 91 )
أ
ب
شكل ( 4 )
منحنيان أحدهما مدبب والاخر مفلطح
قياس التفلطح :
يوجد أكثرمن مقياس لقياس التفلطح وسنعرض منها مايلي :
معامل التفلطح المئيني : ( The Percentile Coefficient Of Kurtosis )
وهو يستخدم الربيعات والمئينات
ويحسب من المعادلة التالية:
1 الربيعي الثالث - الربيعي الأول
معامل التفلطح =
2 المئين التسعين - المئين العاشر
نصف المدى الربيعي
= ( 3 : 49 )
المئين التسعين - المئين العاشر
مثال5 :
احسب معامل التفلطح لمجموعة من البيانات علمأ بأن نصف المدى الربيعي = 57,4 والمئين التسعين = 35,87 والمئين العاشر = 12,54
الحل:
57,4 57,4
معامل التفلطح = = = 14,0
35,87 - 12,54 23,33
( 5 : 86 )
معامل التفلطح العزومي: ( The Percentile Cofficient Of Kurtosis )
( باستخدام العزوم )
وهو يعتمد على العزم الرابع حول الوسط الحسابي
ويحسب من المعادلة التالية :
العزم الرابع
معامل التفلطح = ( 3 : 149 )
مربع العزم الثاني
مثال6 :
احسب معامل التفلطح باستخدام العزمين الرابع والثاني للتوزيع التكراري في الجدول التالي :
المركز 2 3 4 5 6 7 8 9 10
التكرار 3 3 5 5 6 8 4 4 2
الحل :
نحسب جميع المقادير المطلوبة كما بالجدول التالي :
س ك ك س (س-سَ) (س-سَ)2 (س-سَ)2 × ك (س-سَ)4 (س-سَ)4
× ك
2 3 6 -4 16 48 256 768
3 3 9 -3 9 27 81 243
4 5 20 -2 4 20 16 80
5 5 25 -1 1 5 1 5
6 6 36 0 0 0 0 0
7 8 56 1 1 8 1 8
8 4 32 2 4 16 16 64
9 4 36 3 9 36 81 324
10 2 20 4 16 32 256 512
مج 40 240 192 1504
مج ك س 240
سَ = = = 6
مج ك 40
العزم الرابع حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )4 × ك 1504
م4 = = = 6,37
ن 40
العزم الثاني على حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )2 × ك 192
م2 = = = 8,4
ن 40
العزم الرابع 6,37
معامل التفلطح = = = 63,1
مربع العزم الثاني ( 8,4 )2
وهذا يعني أن منحنى التوزيع التكراري مفلطح وذلك بمقارنته بارتفاع المنحنى الاعتدالي المعياري (3) تقريباً .( 6 : 125- 126 )
مثال7 :
احسب معامل الالتواء باستخدام العزمين الثالث والثاني للتوزيع التكراري في الجدول التالي :
المركز 5 8 11 14 17 20
التكرار 5 6 6 4 3 2
الحل :
نحسب جميع المقادير المطلوبة كما بالجدول التالي :
س ك ك س (س-سَ) (س-سَ)2 (س-سَ)2 × ك (س-سَ)4 (س-سَ)4
× ك
5 5 25 -6 36 180 1296 6480
8 6 48 -3 9 54 81 486
11 6 66 0 0 0 0 0
14 4 56 3 9 36 81 324
17 3 51 6 36 108 1296 3888
20 2 40 9 81 162 6561 13122
مج 26 286 540 24300
مج ك س 286
سَ = = = 11
مج ك 26
العزم الرابع حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )4 × ك 24300
م4 = = = 62,934
ن 26
العزم الثاني على حول المتوسط الحسلبي
مج ( س - سَ )2 × ك 540
م2 = = = 77,20
ن 26
العزم الرابع 62,934
معامل التفلطح = = = 17,2
مربع العزم الثاني ( 77,20 )2
وهذا يعني أن منحنى التوزيع التكراري مفلطح وذلك بمقارنته بارتفاع المنحنى الاعتدالي المعياري (3) تقريباً . ( 3 : 50 )
متى يلجأ الباحث الى حساب مقاييس الالتواء والتفلطح :
ذكرنا فيما سبق أن التوزيع يكون ملتوياً إذا تراكمت الدرجات عند أحد أطراف التوزيع دون الطرف الآخر . وتوجد عدة أسباب لالتواء توزيع الدرجات ، فمثلاً إذا كان اختبار عقلي معين غاية في السهولة أو غاية في الصعوبة فان توزيع درجات هذا الاختبار يكون ملتوياً . وبعض المقاييس الفسيولوجية مثل مقاييس زمن الرجع وسرعة الأداء يحتمل أن تكون توزيعات درجاتها ملتوية .
ويمكن أن يكون توزيع البيانات المقاسة على ميزان فتري أو رتبي ملتوياً . فإذا كانت البيانات الفترية ملتوية فانه يفضل استخدام الوسيط كمقياس للنزعة المركزية ، ونصف المدى الربيعي كمقياس للتشتت . وكثير من الأساليب الإحصائية تفترض أن توزيع الدرجات الخام لمتغير ما اعتدالي وليس بملتو .
فإذا كان التوزيع في حقيقته اعتدالياً يكون مقياس الالتواء صفراً ، وعندئذ ينطبق الوسيط على المتوسط ، وهنا لا داعي لتطبيق مقياس إحصائي ليبين أن التوزيع ليس ملتوياً . ولكن الباحث يمكنه تحديد درجة الالتواء ويقرر ما إذا كان لابد من إجراء بعض التصحيحات ( مثل تحويل ميزان القياس ) قبل أن يستمر في تحليل بياناته .
فلكي يجعل الباحث توزيع الدرجات قريباً من الاعتدالية - إذا لم يكن ذلك - ربما يلجأ إلى نوع من التحويلات غير الخطية على البيانات ، غير أن هذه التحويلات تؤدي إلى مشكلات من نوع آخر عند تفسير اليبانات .
وفي الحقيقة أن طبيعة البحث ، ونوع المتغيرات موضع الدراسة ، وحجم العينة تعد جميعها من العوامل التي يجب أن يأخذها الباحث بعين الاعتبار قبل أن يقرر ما إذا كان لابد من حساب مقاييس الالتواء و التفلطح . وينصح " ماكنمار McNemar " بعدم استخدام هذه المقاييس إذا كان عدد الدرجات يقل عن 100 . ويجب أن يدرك الباحث أن التوزيعات والملتوية لكثير من المتغيرات النفسية تكون مصطنعة ، وذلك لأنه يندر لأن تكون الوحدات المستخدمة في بناء المقاييس النفسية متساوية .
فوحدات القياس غالباً ما تكون اعتبارية أو ربما تكون عرضية . فكثير من المتغيرات النفسية والتربوية والاجتماعية تقاس بعدد من العبارات التي يعطي كل فرد رأيه فيها ، أو عدد الأسئلة التي يجيب عنها كل منهم إجابة صحيحة .
وهنا يتحدد شكل التوزيع الناتج إلى حد كبير بالنسبة المئوية للعبارات التي أجيب عنها ، أو بصعوبة الأسئلة . فإذا كانت الأسئلة متوسطة الصعوبة بالنسبة لمجموعة ما ، فإننا نتوقع أن ميزان القياس سوف يؤدي إلى توزيع متماثل لدرجات المجموعة . وإذا كانت الأسئلة سهلة فان الدرجات سوف تتراكم عند النهاية العليا للتوزيع ( أي ينتج عنها توزيع ملتو التواء سالباً ) ، وإذا كانت الأسئلة صعبة فان الدرجات سوف تتراكم عند النهاية السفلى للتوزيع . وفي غياب وحدات قياس متساوية لأداة القياس لا يمكننا حقيقة القول بأن التوزيع متماثل أو ملتو ، ولكن يمكننا القول فقط أن شكل التوزيع يعتمد على وحدات القياس المستخدمة . ( 2 : 185-186 )
ويستفاد من مقياس الالتواء أمرين أولهما معرفة نوعية التواء التوزيع التكراري ، فإذا كان مقياس الالتواء موجباً فهذا يعني أن الوسط الحسابي أكبر من الوسيط وأن الطرف الأيمن ممتد أكثر وبالتالي يكون الالتواء نحو اليمين ، أما إذا كان مقياس الالتواء سالباً فهذا يعني أن الالتواء نحو اليسار والطرف اليسار هو الممتد أكثر .
والفائدة الثانية تكون المقارنة بين التواء توزيعين تكراريين أو مجموعتين من البيانات ، فالمجموعة التي مقياس الالتواء لها أكبر يكون توزيعها ملتوياً أكثر من توزيع المجموعة الأخرى . ( 3 : 47 )
الدلالة الإحصائية : Statistical Significance
في اختبار الفروض يتم الحصول على ناتج أو قيمة تجيز للباحث رفض الفرض الصفري ، والقيمة الدالة Significant Value لاختبار إحصائي ( قائم على البيانات المأخوذة من العينة ) هي قيم تتجاوز القيم الحرجة Critical Values فالفرق الدال Significant difference أو دلالة الفرق Significance of difference بين إحصاءات العينة تعني وجود قيمة كبيرة كافية لرفض الفرض الذي يقرر أن القيم الأصلية الخاصة بالمجتمع الأصلي قيماً متطابقة .
ومن ناحية أخرى يمتد التأثير الدال للمعالجة التجريبية A significant treatment effect حينما تختلف متوسطات العينة بفروق جوهرية نتيجة مستويات مختلفة من المعالجات ( المعاملات ) التجريبية أو نتيجة إدخال المتغير المستقل . فعلى سبيل المثال يستخدم اختبار ت لدراسة الفروق بين متوسطي عينيتين مستقلتين ، وتكون ت دالة إحصائياً ، حينما تكون قيمة ت المحسوبة من الاختبار الإحصائي تتجاوز القيمة الحرجة ( الجدولية ) ل ت ، فإذا كانت ت دالة إحصائياً ، قلنا أنه يوجد فرق دال ( حقيقي ) بين متوسطي العينتين ، بمعنى أن الفرق بين متوسطي العينتين فرق كبير يكفي لرفض الفرض الذي يقرر أن متوسطات المجتمعين الإحصائيين اللذين سحبت منهما العينتان غير مختلفين ، أو الفرض الصفري الذي يقرر أن العينتين مسحوبتين من مجمع إحصائي واحد .
وفي تحليل التباين ANOVA تكشف قيمة ف الدالة إحصائيا عن وجود التأثير الدال للمعالجة التجريبية ، بمعنى أن متوسطات العينات تختلف اختلافات جوهرية من واحدة لأخرى نتيجة اختلاف مستويات المتغير المستقل ، هذه الاختلافات تكفي لرفض الفرض الصفري الذي يقرر أن متوسطات المجتمعات الإحصائية الذي سحبت منها العينات متساوية ، أو الفرض الصفري الذي يقرر أن العينات مسحوبة من مجتمع إحصائي واحد متماثل .( 4 : 48-49 )
مستوى الدلالة Level Of Significance
تعرف اختبارات الفرض الصفري باسم اختبارات الدلالة ، وهي تهدف إلى التثبت من دلالة القيمة الإحصائية عند مستوى مئوي معين لتقرير ما إذا كانت القيمة دالة أو غير دالة إحصائياً . وتعتمد اختبارات الدلالة على مقارنة نتائجها بشكل الاحتمالات في منحنى التوزيع القياسي أو ما يطلق عليه " مستويات الدلالة Level of significance " ، فإذا كان الفرق بين المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة - على سبيل المثال - فرقاً صغيراً للغاية ، فان الباحث يقبل الفرض الصفري الذي يقرر أن الفرق بين المجموعتين غير جوهري ، وأن الفروق الصغيرة للغاية ترجع إلى أخطاء عملية المعاينة Sampling errors أوالى بعض التغيرات الطارئة Chances variations .
أما إذا جاء الفرق بين المجموعتين التجريبية والضابطة كبيراً ، فان الباحث يرفض الفرض الصفري ، بمعنى أن الفروق التي تم الحصول عليها من المجموعتين فروق حقيقية ليست وليدة الصدفة .( 4 : 49 )
ويشير مستوى الدلالة إلى قيمة ألفا alpha أو احتمالية الوقوع في الخطأ من النوع الأول a type error * الذي يختار لاختبار الدلالة ، وفي بعض الأحيان يعبر عن مستوى الدلالة كنسبة مئوية percentage ، ويتوقف قبول أو رفض الصفري على مستوى الدلالة ( مستوى ألفا ) الذي يستخدم كمحك للقبول أو الرفض . ويستخدم بكثرة لاختبار الفرض الصفري في مجال البحوث التربوية مستويان للدلالة هما :
المستوى الأول هو : مستوى 05,0 أو 5%
المستوى الثاني هو : مستوى 01,0 أو 1% ( 4 : 49 )
مستوى الدلالة 05,0 :
ويعني أنه إذا كررنا التجربة 100 مرة فمن المحتمل أن نرفض الفرض الصفري ، وهو في الواقع صحيح خمس مرات ومن ثم نكون أمام نسبة شك فيما توصلنا اليه
5% ويكون الاستنتاج سليماً وصائبأ بثقة 95% . ( 5 : 63 )
ومن ناحية أخرى فان هذه النتيجة توحي بأن 95% من احتمالات الحصول على النتائج يمكن إرجاعها إلى المعالجات التجريبية أكثر من إرجاعها إلى عوامل الصدفة .
ويشكل الفرض الصفري H0 حينما يكون حقيقياً خطأ النوع الأول a type error أو خطأ ألفا alpha error ، حيث نقول أنه على مستوى دلالة 05,0 يرتكب الباحث 5% خطأ النوع الأول عندما يرفض الفرض الصفري ويكون هذا حقيقياً . ( 4 : 50 )
مستوى الدلالة 01,0 :
ويعني أنه إذا كررنا التجربة 100 مرة فمن المحتمل أن نرفض الفرض الصفري ، وهو في الواقع صحيح مرة واحدة ومن ثم نكون أمام نسبة شك فيما توصلنا إليه بنسبة 1% ويكون الاستنتاج سليماً وصائباً بثقة 99% .( 5 : 63 )
في بعض الحالات يريد بعض الباحثين الارتفاع بمستوى قوة الاختبار الإحصائي فيستخدمون مستوى دلالة 01,0 ، وفي هذه الحالة يقع الباحث في خطأ النوع الأول بنسبة 1% فقط . ويوحي مستوى دلالة 01,0 أن احتمال 99% من النتائج التي تم الحصول عليها حقيقية وترجع إلى المعالجات ( الإجراءات ) التجريبية .
وفي الحالات التي يقبل فيها الباحث الفرض الصفري حين يكون غير صحيح ( خطأ ) فانه يقع في خطأ فني يطلق عليه خطأ النوع الثاني The type II error أو خطأ بيتا Beta error* . ومن المعروف أنه يمكن تخفيض خطأ النوع الأول باستخدام مستوى دلالة 01,0 ، حيث تقلل هذه الطريقة من فرص الوقوع في خطأ النوع الأول ، إلا أنها تزيد من فرص الوقوع في خطأ النوع الثاني ، عندما يقبل الفرض الصفري حين يجب رفضه .
وللحد من احتمالية الوقوع في خطأ النوع الأول يتجه معظم الباحثين إلى استخدام 05,0 كقيمة مقبولة لألفا ، لهذا يستخدم مستوى دلالة 05,0 أو 5% كمحك للحكم على دلالة معظم الاختبارات الإحصائية وبخاصة في مجال الدراسات التربوية والنفسية . ( 4 : 50 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(*) خطأ من النوع الأول : A type I error
ويحدث حينما يرفض الفرض الصفري ضمن نسبة احتمال محددة حينما يكون حقيقياً ، وهو يؤكد صحة الفرض الصفري ، ويرمز لهذا الخطأ بالرمز ألفا ( a ) .
(*) خطأ من النوع الثاني : A type II error
ويحدث حينما نقبل الفرض الصفري ضمن نسبة احتمال محددة حينما يكون هذا الفرض خطأ ( غير صحيح ) ، ويرمز لهذا الخطأ بالرمز بيتا ( B ) .
