من قام بعمل القانون
تستخدم اختبارات "ت" – نسبة إلى أبحاث العالم "ستودنت" – لقياس دلالة فروق المتوسطات المرتبطة وغير المرتبطة ، للعينات المتساوية وغير المتساوية.
حيث يحتاج الباحث عند المقارنة بين مجموعتين أو أكثر إلى استخدام اختبارات معينه لمعرفة معنوية الفروق بين المتوسطات الحسابية والانحرافات المعيارية أو النسب المئوية. ويعد اختبار "ت" T. Test من أكثر اختبارات الدلالة شيوعاً فى الأبحاث النفسية والتربوية الرياضية.
ويهدف هذا الإختبار إلى معرفة ما إذا كانت الفروق بين المتوسطات حقيقية وتعزى إلى متغيرات معينة أم أنها تعزى إلى الصدفه وحدها.
شروط استخدام "ت" لدلالة الفروق ( )
[1] حجم العينه
يستخدم اختبار "ت" للعينات الصغيرة وهى التى يقل حجمها عن "30" حالة ، كما يستخدم للعينات الكبيرة وهى أكثر من "30" حالة ، هذا وكلما كان التوزيع يميل للاعتدالية كلما كان ذلك افضل. وفى حالة العينات التى يقل عدد أفرادها عن (5) يمكن استخدام الاختبارات اللابرامترية للدلالة التى تصلح للتوزيعات الحرة.
[2] الفرق بين حجم عينتى البحث
يفضل أن يكون حجم عينتى المتغيرين متقارباً إلى حد ما. بمعنى أن لا يكون الفرق بينهما كبيراً.
[3] مدى تجانس العينتين
يقاس مدى التجانس بقسمه التباين الأكبر على التباين الأصغر ، أى بالنسبة الفائية حيث أن :-
التباين الأكبر
ف = ـــــــــ
التباين الأصغر
مثال :
إذا كان تباين العينة الأولى = 14.75 ، وعدد أفراد العينة 51 وتباين العينة الثانية 11.47 ، وعدد أفراد العينة 85.
14.75
.. ف = ــــــ = 1.29 وبالكشف عند درجة حرية 51 – 1 = 50
11.47
كبير ، درجة حرية 81 – 1 = 80 صغير ، نجد أنها = 1.51 عند 0.05
وبما أن قيمه "ف" فى هذا المثال = 1.29
.. فهى نسبة غير دالة ، وبذلك يمكن حساب "ت" لفرق متوسطى المتغيرين لأن الفرق بين تباينهما غير دال.
[4] مدى اعتدالية التوزيع التكرارى لكل من عينتى البحث
التوزيع الاعتدالى يمتد من – 3 إلى + 3 ويقاس ذلك بمعامل الالتواء وهو :
3 (المتوسط – الوسيط)
الالتواء = ــــــــــــــ
الانحراف المعيارى
مثال :
الوسط الحسابى = 121.47
الوسيط = 119.05
الانحراف الميعارى = 17.32
3 (121.47 – 119.05) 7.26
.. الالتواء = ــــــــــــــــــ = ــــــ =0.42
17.32 17.23
وهذا الالتواء قريب جداً من الصفر ، وبذلك يصلح مثل هذا المتغير لحساب دلالة "ت" لأن التوزيع التكرارى يقترب جداً من التوزيع الاعتدالى وبعد ذلك بحسب الالتواء.
ويمكن استخدام "ت" فى الحالات التالية :-
أولاً : دلالة فرق متوسطين غير مرتبطين لعينتين متساويتين : أى أن ن1 = ن2.
مثال : اوجد دلالة الفرق بين المتوسطين للبيانات التالية :
جدول (1-5)
البيانات المجموعة الأولى المجموعة الثانية
الوسط الحسابى
الوسيط
الانحراف الميعارى 165
164
12.25 175
176
14.62
ن 51 51
الــحــــل
(14.62)2
[1] معرفة تجانس العنتين عن طريق النسبة الفائية = ـــــــ = 1.4
(12.35)2
وبالكشف عن درجة حرية 51 – 1 = 50 كبير ، درجة حرية 51 – 1 = 50 صغير = 1.60 عند 0.05 ، وبما أنها أكبر من "ف" المحسوبة فهى غير دالة وبذلك يمكن حساب "ت" لفرق متوسطى المتغيرين لأن الفرق بينهما غير دال بحساب قيمة "ف".
[2] معرفة مدى اعتدالية التوزيع التكرارى لكل من عينتى البحث : عن طريق الالتواء
3 (165 – 164) 3
= ـــــــــــ = ـــــ = 0.24 ،
12.35 12.35
وهذا يعنى اعتدالية التوزيع إلى حد كبير للمجموعة الأولى
3 (175 – 176 ) -3
والالتواء = ــــــــــ = ــــــ = 0.21 ،
14.62 14.62
وهذا يعنى اعتدالية التوزيع إلى حد كبير للمجموعة الثانية ، وبذلك قد تحقق هذا الشرط لصلاحية البيانات لإيجاد قيمة " ت " المحسوبة .
3-تطبيق صورة المعادلة التالية :
| م1 – م2 |
ت = ـــــــــــــــ
1 1
ع ـــ + ـــ
ن1 ن2
صورة [1]
م1 = متوسط المجموعة الأولى
م2 = متويط المجموعة الثانة
م1 - م2 = الفرق بين المتوسطين
ن1 = عدد أفراد المجموعة الأولى
ن2 = عدد أفراد المجموعة الثانية
ع = الانحراف المعيارى المجمع للعينتين ، تحسب من صورة المعادلة 2
ع1 = الانحراف المعيارى للعينة الأولى
ع2 = الانحراف المعيارى للعينة الثانية
ع2 1 ن1 + ع2 2 ن2
ع = ــــــــــــــ
ن1 + ن2 - 2
صورة [2]
وهناك صورة أخرى أكثر سهولة يمكن تطبيقها وهى صورة [3]
|م1 – م2|
ت = ـــــــــــ
ع2 1 + ع2 2
ـــــــ
ن – 1 صورة [3]
|165 – 175| 10
.. ت = ـــــــــــــ = ـــــــــــــ
(12.35)2 + (14.62)2 152.52 + 213.74
ــــــــــــــ ــــــــــــ
50 50
10 10
= ـــــ = ـــــ = 3.69
7.33 2.71
ولمعرفة دلالة هذه النتيجة نحدد درجات الحرية وهى عبارة عن :
( ن1 - 1) + (ن2 – 1) = ن1 + ن2 – 2
= 51 + 51 - 2 = 100
وبالرجوع إلى جدول " ت " الجدولية عند درجة حرية 100 ، ومستوى 0.05 = 1.66 (دلالة الاتجاه الواحد) ، 1.98 (دلالة الاتجاهين) ، ومستوى 0.01 = 2.36 (دلالة الاتجاه الواحد) ، 2.63 (دلالة الاتجاهين)
وبما أن " ت " المحسوبة 3.69 أى أكبر " ت " الجدولية فى جميع الحالات
. . توجد فروق دالة إحصائياً بين المجموعة الأولى والمجموعة الثانية لصالح المتوسط الأفضل ، ويتم تحديد المتوسط الأفضل حسب نوعى الاختبار فإذا كان عدداً مثلاً يكون المتويط الأكبر هو الأفضل وإذا كان زمناً يكون الأصغر هو الأفضل.
ملحوظة :
تهمل الإشارة للفرق بين المتوسطين حيث أنه قيمة مطلقة ولذلك يوضع بين خطين عموديين كما فى صورة المعادلة.
ملحوظة أخرى :
فى حالة الكشف عن الجدول قد لا يكون هناك درجة حرية = درجة الحرية المحسولة وفى نهاية الحالة تأخذ المعنوية عند درجة الحرية السابقة لها وليس اللاحقة بها.
مثال : درجة الحرية 49 لا توجد فى الجدول لذلك نأخذ المعنوية أمام درجة الحرية 40.
ثانياً: دلالة فرق متوسطين غير مرتبطين لعينتين غير متساويتين فى عدد أفرادهما : أى أن ن1 لا تساوى ن2
مثال : " أوجد دلالة الفرق بين المتوسطين للبيانات التالية :
جدول (2- 5)
البيانات المجموعة الأولى المجموعة الثانية
الوسط الحسابى
الوسيط
الانحراف الميعارى 54
55
8.40 65
64
6.21
عدد الأفراد 81 71
الــحـــل
8.40
1- معرفة تجانس العينتين عن طريق النسبة الفائية = ــــ =1.35
6.21
وبالكشف عن درجة حرية 81 – 1 كبير ، درجة حرية 71 – 1 صغير = 1.47 ، وبما أنها أكبر من " ف " المحسوبة فهى غير دالة ، وبذلك يمكن حساب " ت " للفرق بين متوسطى المتغيرين لأن الفرق بينهما غير دال بحساب قيمة " ف "
2-معرفة مدى أعتدالية التوزيع التكرارى لكل من عينتى البحث :
3 (54 – 55 ) - 3
عن طريق الالتواء = ــــــــــ = ـــــ = - 0.36
8.40 8.4
وهذا يعنى اعتدالية التوزيع إلى حد كبير للمجموعة الأولى
3 (65 – 64 ) 3
والالتواء = ـــــــــــ = ـــــ = 0.48 ،
6.21 6.21
وهذا يعنى اعتدالية التوزيع إلى حد كبير للمجموعة الثانية ، وبذلك قد تحقق هذا الشرط لصلاحية البيانات لإيجاد قيمة " ت " المحسوبة
3-تطبيق صورة المعادلة التالية :
| م1 – م2|
ت = ـــــــــــــــــــــــــ
ع2 1 × ن1 + ع2 2 × ن2 1 1
ـــــــــــــــ [ ــ + ــٍ]
ن1 + ن2 – 2 ن1 ن1
صورة [4]
|54 – 65|
.. ت = ــــــــــــــــــــــــــــــ
(8.4)2 × 81 + (6.21)2 × 71 1 1
ـــــــــــــــــ [ ـــ + ـــ]
81 + 71 – 2 81 71
11
ت = ـــــــــــــــــــــــــ
5715.36 + 2738.06
ـــــــــــــ [0.01 + 0.02]
150
11 11
ت = ــــــــــ = ــــ 8.46
56.36 × 0.03 1.3
ولمعرفة دلالة هذه النتيجة نحدد درجات الحرية وهى عبارة :
( ن1 - 1) + (ن2 – 1) = ن1 + ن2 – 2 = 81 + 71 = 150
وبالرجوع إلى جدول " ت " الجدولية عند درجة حرية 150 لا توجد فى الجدول ولذا تكشف عند درجة حرية 100 الجدولية ، ومستوى 0.05 = 1.66 ( دلالة الطرف الواحد) ، 1.98 (دلالة الطرفين) ، ومستوى 0.01 = 2.36 (دلالة الطرف الواحد) ، 2.63 (دلالة الطرفين)
وبما أن " ت " المحسوبة 8.46 أى أكبر من " ت " الجدولية فى جميع
الحالات .. توجد فروق دالة إحصائياً بين المجموعة الأولى والمجموعة الثانية لصالح المتوسط الأفضل
ثالثاً : دلالة فرق متوسطين مرتبطين :
فى هذه الحالة يطبق اختبار على مجموعة من الأفراد ثم يعاد إجراء نفس الاختبار على نفس المجموعة فى وقت آخر ، أى أن العينة التى يجرى عليها الاختبار هى نفس العينة فى التطبيقين.
مثال " أوجد قيمة " ت " من خلال البيانات بالجدول (3-5)
الــحــل
1- إيجاد الفرق بين التطبيقين
10
2- إيجاد المتوسط الحسابى للفرق وهو ـــ = 1
10
3- إيجاد الانحراف للفرق عن المتوسط
4- إيجاد مربع الانحراف للفرق
5- تطبيق المعادلة بالصورة 5
|م ف|
ت = ــــــ
ع2 ف
ــــــ
ن – 1 صورة [5]
ح2 ف
ولايجاد ع2 ف = ــــــ
ن
صورة أخرى :
|م ف|
ت = ــــــ
ح2 ف
ــــــــ
ن (ن– 1) صورة [6]
جدول( 3 – 5)
م التطبيق 1 التطبيق 2 ف ح ف ح2 ف
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 8
6
4
7
9
5
7
7
5
6 6
2
5
6
7
4
6
7
4
7 2
4
-1
1
2
1
1
صفر
1
-1 1
3
-2
صفر
1
صفر
صفر
-1
صفر
-2 1
9
4
صفر
1
صفر
صفر
1
صفر
4
مجـ 64 54 +12
10
-2 20
العمود الأول = الأرقام المسلسلة
العمود الثانى = التطبيق الأول
العمود الثالث = التطبيق الثانى
العمود الرابع = الفرق بين التطبيق الأول والثانى
العمود الخامس = انحراف الفرق عن المتوسط فى العمود الرابع
العمود السادس = مربع الانحراف للفرق
1 1
.. ت = ــــ= ـــــ = 2.13
2 0.47
ـــ
9
وبالرجوع إلى قيمة " ت " الجدولية عند درجة حرية 10 – 1 = 9 ، نجد أنها عند مستوى 0.05 1.83 دلالة الاتجاه الواحد ، 2.26 دلالة الاتجاهين وعند مستوى 0.01 = 2.82 دلالة الطرف الواحد ، 3.25 دلالة الطرفين وبما أن " ت " المحسوبة = 2.13 فهى فقط عند مستوى 0.05 لدلالة الطرف الواحد فقط.
ملحوظة :
تحديد الاتجاه الواحد أو الاتجاهين عند 0.05 أو 0.01 تبعاً لتحديد فروض البحث من البداية.
رابعاً : دلالة فرق متوسطين لعينتين غير متجانستين :
فى بعض الأحيان مع اختلاف حجم العينة فى المجموعتين يختلف أيضاً الانحراف المعيارى لكل عينة عن الأخرى اختلافاً كبيراً للغاية لذلك لا يمكن استخدام " ت " كما سبق أن أوضحنا ولكن يستخدم بدلاً منها صور أخرى.
مثال : أوجد دلالة فرق متوسطين غير متجانسين مع اختلاف حجم العينة من خلال البيانات التالية :
جدول (4 – 5)
البيانات المجموعة الأولى المجموعة الثانية
الوسط الحسابى
الوسيط
الانحراف الميعارى 11.35
11.00
19.22 18.07
20.23
5.32
عدد الأفراد 14 25
الـحــل :
1-حساب التجانس عن طريق النسبة الفائية
19.22
.. ف = ـــــ = 3.61 وبالرجوع لقيمة " ف " الجدولية عند درجة حرية 14 ، 25
5.32
مستوى 0.05 = 2.11 ، مستوى 0.01 = 2.89
وبما أن قيمة " ف " المحسوبة أكبر من الجدولية . . فالعينتين غير متجانستين لأن الفرق بين
ع2 1 ، ع2 2 فرق معنوى سواء عند 0.05 ، 0.01 .
2- تطبيق صورة المعادلة [7]
| م1 – م2 |
ت = ــــــــــ
ع2 1 ع2 2
ـــ + ــــ
ن1 ن2
صورة [7]
|11.35 – 18.07| 6.72
.. ت = ـــــــــــ = ــــــــــــ
19.22 5.32 1.37 + 0.21
ــــ + ــــ
14 25
6.72 6.72
= ـــــ = ــــــ = 5.33
1.58 1.26
3- استخراج قيمة " ت " الجدولية لكل من العينة الأولى ، العينة الثانية.
= ت العينة الأولى عند مستوى 0.05 ، ودرجة حرية 14 - 1 = 13 = 2.16
و "ت " للعينة الثانية عند مستوى 0.05 ، ودرجة حرية 25 – 1 = 24 = 2.06
ملحوظة :
الكشف هنا فى جدول " ت " عند دلالة الطرفين
4-تطبيق المعادلة بالصورة [8]
ت1 ع2 1 ت2 ع2 2
الجدوليه ــــ + الجدولية ـــــ
ن1 ن2
ت = ـــــــــــــــــــــــ صورة [8]
ع2 1 ع2 2
ــ + ـــ
ن1 ن2
وقيمة " ت " من صورة المعادلة [7] = 5.33 ، وهى أكبر من قيمة " ت " عند مستوى دلالة 0.05 التى تساوى 2.15 من صورة المعادلة [8]
.. الفرق بين المتوسطين م1 ، م2 دال عند مستوى 0.05
ملحوظة :
تطبق نفس الخطوات السابقة بدلالة 0.01 ، إذا أراد الباحث ذلك .
النسبة الحرجة : (1)
فى حالة المجموعات أكثر من (30) يستخدم عادة اختبار النسبة الحرجة . ويستند اختبار الدلالة على توزيعات نظرية ، ومن أهمها التوزيع الاعتدالى التكرارى . وفى حالة اختبار دلالة الفرق بين متوسطين باستخدام النسبة الحرجة ، يلزم أن نرجع بالفرق بين المتوسطين إلى جدول مساحات المنحنى الاعتدالى ، ويتطلب ذلك تحويل الفرق من درجة خام إلى درجة معيارية ، وذلك بقسمة الفرق بين المتوسطين على الخطأ المعيارى للفرق بين هذين المتوسطين وتسمى الدرجة أو النسبة التى نحصل عليها بالنسبة الحرجة.
مـثــال :
أوجد دلالة الفرق بين متوسطين لعينه أكثر من (30) فرداً. باستخدام النسبة الحرجة من خلال الجدول التالى :-
جدول (5-5)
البيانات المجموعة الأولى المجموعة الثانية
الوسط الحسابى
الانحراف الميعارى 16.75
4.36 12.04
3.43
عدد الأفراد 30 30
الــحـــل :
استخراج الخطأ المعيارى للفرق بين المتوسطين عن طريق صورة المعادلة [9]
ع
عم = ــــ صورة المعادلة [9]
ن
عم = الخطأ المعيارى للمتوسط.
ع = الانحراف المعيارى للعينة.
ن = عدد أفراد العينة.
4.36 4.36
عم1= ـــــ = ــــــ = 0.80
30 5.48
3.42 3.42
عم2 = ـــــ = ــــ = 0.62
30 5.48
2- تطبيق صورة المعادلة [10]
م1 – م2
ن.ح = ــــــــــ صورة المعادلة [10]
ع2م1 + ع2م2
ن.ح = النسبة الحرجة.
م1 = المتوسط الحسابى للمجموعة الأولى.
م2 = المتوسط الحسابى للمجموعة الثانية.
ع2م1 = مربع الخطأ المعيارى لمتوسط المجموعة الأولى.
ع2م2 = مربع الخطأ المعيارى لمتوسط المجموعة الثانية.
16.75 – 12.04 4.71
ن.ح = ــــــــــــ = ـــــــــ
(0.80)2 + (0.62)2 0.64 + 0.38
4.71 4.71
= ـــــ = ــــــ = 4.66
1.02 1.01
النسبة الحرجة فى حالات المجموعة المترابطة
مثـــال :
أوجد دلالة الفرق بين متوسطين لمجموعتين مترابطتين باستخدام النسبة الحرجة من خلال الجدول التالى :-
جدول (6-5)
البيانات المجموعة الأولى المجموعة الثانية
الوسط الحسابى
الانحراف المعيارى 177
22.03 152
19.57
عدد الأفراد 60 60
علماً بأن معامل الارتباط بين درجات المجموعتين = 0.78
الــحـــل :
1- استخراج الخطا المعيارى للفرق بين المتوسطين عن طريق صورة المعادلة [9]
22.03 22.03
عم1 = ـــــ = ـــــ = 2.84
60 7.75
19.57 19.57
عم2 = ـــــ = ـــــــ = 2.53
60 7.75
2- تطبيق صورة المعادلة [11]
|م1 – م2 |
ـــــــــــــــــ صورة المعادلة [11]
ع2م1 + ع2م2 – 2ر عم1 عم2
177 - 152
.. ن.ح = ـــــــــــــــــــــــــــــــ
(2.84)2 + (2.53)2 – 2 × 0.87 × 2.84 × 2.53
25
= ــــــــــــــــــــــــــــــ
8.07 + 6.40 – 2 × 0.87 × 2.84 × 2.53
25 25
= ـــــــــــــ = ــــــــــــ
14.47 – 2 × 6.25 14.47 – 12.50
25 25
= ــــــ = ـــــ = 17.85
1.97 1.4
3- لمعرفة الدلالة الإحصائية نبحث عن المساحة الاعتدالية المعيارية التى تقع بين – 2.83 + 2.83 فى الجداول الإحصائية نجد أنها تساوى 0.9954
.. احتمال وجود الفرق الجوهرى الذى تدل عليه الدرجة للنسبة الحرجة 2.83 مساوياً 99% واحتمال عدم وجود هذا الفرق مساوياً لـ 1%
وهناك صورة أخرى للنسبة الحرجة منها :
الفرق بين الانحرافين المعياريين
ن.ح = ــــــــــــــــــــــــــ
الخطأ المعيارى للفرق بين الانحرافين المعياريين
صورة المعادلة [12]
الفرق بين النسبتين المئويتين
ن.ح = ــــــــــــــــــــــــــ
الخطأ المعيارى للفرق بين النسبتين المئويتين
صورة المعادلة [13]
اختبار الفرق بين نسبتى عينتين :
مثـــال :
اوجد دلالة الفرق بين نسبتى عينتين من خلال البيانات التالية :
1- عدد الطلاب الناجحين فى مادة الإحصاء 200 من عدد 1000 طالب.
2- عدد الطلاب الناجحين فى مادة الرياضيات 600 من عدد 1500 طالب.
الحل
1- إيجاد نسبة المادة الأولى (الإحصاء) =
أ 200
ق1 = ـــ = ـــــ = 0.2
ن 1000
أ 600
ق2 = ــــ = ـــــ = 0.4
ن 1500
2- إيجاد قيمة "ق" بالمعادلة الالية صورة [14]
ق1 ن1 + ق2 ن2
ق= ــــــــــــ صورة المعادلة [14]
ن1 + ن2
0.2 × 1000 + 0.4 × 1500 200 + 600
.. ق = ـــــــــــــــــ = ــــــــــ
1000 + 15000 2500
800
= ــــــــ = 0.32
2500
3- إيجاد قيمة ح بالمعادلة الصورة [15]
|ق1 – ق2|
ح =ــــــــــــــــــــ
1 1
ق (1 – ق) [ـــ + ــــ]
ن1 ن2
صورة المعادلة [15]
| 0.2 – 0.4 | 0.2
.. ح = ــــــــــــــــ = ــــــــ
0.32 × 0.68 × 0.0017 0.00037
0.2
.. ح = ـــــ 10.53
0.019
ونجد أن قيمه هذه القيمة أكبر من قيمة ح الجدولية عند مستوى 0.05 التى تساوى 1.96 لذا نجد أن الفرق بين النسبتين فرق حقيقى ومعنوى.
ملحوظة
يمكن استبدال "ح" بـ "ت"
