معامل ارتباط كندال للرتب kendall renk correlation coefficient
يستخدم هذا المعامل فى مجال الإحصاء اللابارومترى كمقياس للأتفاق بين مجموعتين منفصلتين من الرتب وفقاً لمجموع التغيرات في الوضع inversions، ويتطلب معامل ارتباط كندال للرتب Kendall's tau نفس الشروط التى يتطلبها معامل ارتباط سبيرمان ، فهو يطبق لحساب معامل الأرتباط بين اثنين من المتغيرات يتم التعبير عنها بمقياس الترتيب حيث يمدنا معامل كندال Tau كميا بمقدار العلاقه بين هذين المتغيرين .
ويكمن الفرق الأساسى بين معامل كندال ومعامل سبيرمان ، فى أن الأول يتطلب حساب انعكاسات (مقلوبات) الرتب بدلا من معالجه الرتب ذاتها كبيانات عند حساب الإرتباط كما هو متبع فى معامل سبيرمان ، فمعامل سبيرمان ، فمعامل كندال يعتمد فقط على عدد المقلوبات لكل زوج من المشاهدات أو الأفراد فى فئات الترتيب .
والمعادله الأساسيه لمعامل ارتباط كندال للرتب هي:
رك = المعادلة رقم (1)
حيث إن :
رك = معامل كندال
ع = العدد الكلى للرتب الكبيره
م = العدد الكلى للرتب الصغيره
ن = عدد المشاهدات أو الدرجات التى تم ترتيبها
مثال :
لنفترض أن أحد الباحثين قام بتطبيق اختبارين ( أ ، ب ) على 12 طالبا ، وقد حصل على الدرجات الخام المبنيه بالجدول التالى رقم (1).
جدول (1)
يبين الدرجات الخام ل12 طالبا على الأختبارين أ ، ب
الطلاب أ ب ج د هـ و ز ح ط ى ك ل
الإختبار أ 20 26 17 16 15 23 22 24 19 28 30 10
الإختبار ب 70 80 40 45 38 49 77 76 72 47 36 35
والمطلوب حساب معامل كندال لرتب هاتين المجموعتين من الدرجات :
الخطوة 1
نقوم بوضع رتب لكل مجموعه من الدرجات ( أ ، ب) كل على حده ، بحيث تعطى أكبر درجه الرتبه 1 ، والدرجه التاليه لها الرتبه 2 ، وهكذا وفقا لما هو مبين بالجدول رقم (2) .
جدول رقم (2)
يبين الدرجات الخام ل 12 طالبا على الأختبارين أ ، ب
الطلاب أ ب ج د هـ و ز ح ط ى ك ل
رتب أ 7 3 9 10 11 5 6 4 8 2 1 12
رتب ب 5 1 9 8 10 6 2 3 4 74 11 12
الخطوة 2
نقوم بإعادة ترتيب رتب الأختبار أ بحيث تظهر فى شكل ترتيب طبيعى متسلسل من 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، مع ملاحظه إعاده ترتيب الرتب الخاصه بالأختبار ب وفقا للترتيب الذى تم بالنسبه للأختبار أ ، ويبين الجدول رقم (3) نتائج هذا الخطوه .
جدول رقم (3)
يبين الدرجات ل12 طالبا على الاختبارين أ، ب
الطلاب أ ب ج د هـ و ز ح ط ى ك ل
رتب أ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
رتب ب 11 7 1 3 6 2 5 4 9 8 10 12
الخطوة 3
فى هذه الخطوة نبدأ بالرتب على الأختبار (ب) من الجهه اليمنى للجدول ، فنأخذ الرتبه 11 ونحسب عدد الرتب التى تقع فوقها والرتب التى تقع تحتها ، فنجد أن الرتب التى تقع فوقها (أكبر منها ) تساوى 10 ، وهى الرتب (10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ،1 ) ويلاحظ ان جميع هذه الرتب تقع على يسار الرتبه 11 بالنسبه للأختبار (ب) .
نبدأ بعد ذلك بالرتبه التاليه لنفس الأختبار وهى الرتبه 7 ، وبنفس الطريقه السابقه نعد الرتبه الأكبر منها فنجد أنها تساوى 4 ، والرتبه الأصغر منها فنجد أنها تساوى 6 .
وبالمثل نأخذ الرتبه التاليه 1 للأختبار ب ، فنجد أن الرتب الأكبر منها – وتقع على يسارها – تساوى 9 ، وان الرتب الأقل منها وتقع على يسارها تساوى صفرا ( حيث لاتوجد أى رتبه أقل من 1 ) .
وبالنسبه للرتبه 10 ، فنجد أن عدد الرتب الأكبر منها – التى تقع على يسارها – يساوى 1 ، وان عدد الرتب الأقل منها والتى تقع على يسارها يساوى صفرا . وبالنسبه للرتبه الأخيره ، فنجد أن عدد الرتب الأكبر والأقل منها والتى تقع على يسارها يساوى صفرا .
الخطوة 4
بعد الأنتهاء من الإجراء الموضح فى الخطوه السابقه بالنسبه لكل الرتب فى الاختبار ب ، نقوم بوضع النتائج التى يتم التوصل إليها فى جدول رقم (4) كالتالى :
جدول رقم ( 4 )
عدد الرتب التي تزيد عليها (ع) 1 4 9 7 4 6 4 4 2 2 1 0
رتبة المتغير ب 11 7 1 3 6 2 5 4 9 8 10 12
عدد الرتب التي تقل عنها (م) 10 6 0 1 3 0 1 0 1 07 0 0
نقوم بحساب قيمه كل من ع ، م كالتالى :
ع = 1 + 4 + 9 + 7 + 4 + 6 + 4 + 4 + 4 + 2 + 2 + 1 = 44
م= 10 + 6 + 1 + 3 + 1 + 1 = 22
(ع - م ) = 44 – 22 = 22
وهى القيمه التى سنستخدمها للكشف عن الدلاله الإحصائيه للارتباط من (الجداول الإحصائيه).
وبما أن :
( ع – م) = 22
ن = 12
إذن يمكن التعويض في المعادلة الرئيسية رقم (1) كالتالي:
ر ك =
=
= = 0.333
الدلالة الإحصائية لمعامل ارتباط كندال :
تقوم الدلاله الإحصائيه لمعامل ارتباط كندال على أساس أن المتغيرات التى تقف وراء الرتب تتوزع توزيعا متصلا ، ويتأسس اختبار هذه الدلاله على الفرض الصفرى الذى يقرر أن هذا المعامل يساوى صفرا ، حيث إن :
H0: ر ك = 0
H1: ر ك ≠ 0
الحاله الأولى : ( ن ≤ 10) :
وعندما يكون عدد المشاهدات فى كل من مجموعتى الدرجات تساوى أو تقل عن 10 ؟؟؟ فإنه يتسم الكشف عن القيم الحرجه للفرق بين (ع- م ) لمعامل كندال لارتباط الرتب (من الجدوال الإحصائيه ) ، حيث يلاحظ أنه فى حاله ما إذا كان الفرق المحسوب بين (ع – م) يساوى أو يزيد على القيم الجدوليه عندما تكون (ن ) معلومه يكون معامل الأرتباط دالا إحصائيا للطرفين .
الحاله الأولى : ( ن > 10):
عندما يزيد عدد أزواج المشاهدات فى مجموعتى البيانات عن 10 أي تكون ( ن > 10) حينئذ يمكن أختبار الدلاله الإحصائيه لمعامل ارتباط كندال رك عن طريق تحويل المعامل إلى الدرجه ذ-Z باستخدام المعادلة التالية:
ذ = المعادلة رقم (2)
وفي مثالنا الحالي نجد أن:
ر ك = 0.333
ن = 12
وبالتعويض في المعادلة السابقة رقم (6) ينتج أن:
ذ =
ذ =
ذ =
ذ =
ذ = 0.333
ذ = 0.2209
ذ = 1.508
قيمة ذ = + 1.508
وبمقارنة قيمة ذ المحسوبة – بدلالة معامل إرتباط كندال – والتي تساوي + 1.508 بقيمة ذ الحرجة والتي تساوي ± 1.96 عند مستوى 0.05 للطرفين نجد أن القيمة المحسوبة أقل من القيمة الحرجة، وهذا معناه أن قيمة معامل الإرتباط المحسوب تقع في منطقة القبول، وبناء على ذلك نقبل الفرض الصفري H0 الذي يقرر أن معامل إرتباط الرتب بين مجموعتي الدرجات يساوي صفرا، حيث يمكننا أن نقول أن مجموعتي الدرجات غير مرتبطين أي لا توجد بينهما علاقة.
